e1
代数の始まり…
2項関数に対する1項述語
abbr … \(( X , \mathop{{\sf f}} ) \, {:}\, \underline{2}\) ≈ \(\forall x , y \in X . x \mathop{{\sf f}} y \in X\)$X {^^}$..f $X sub_ $X としたいが…？
abbr … \(( X , \mathop{{\sf f}} ) \, {:}\, \text{C}\) ≈ \(\forall x , y \in X . x \mathop{{\sf f}} y = y \mathop{{\sf f}} x\)
abbr … \(( X , \mathop{{\sf f}} ) \, {:}\, \text{A}\) ≈ \(\forall x , y , z \in X . x \mathop{{\sf f}} \, ( y \mathop{{\sf f}} z ) = ( x \mathop{{\sf f}} y ) \mathop{{\sf f}} z\)
abbr … \(( X , \mathop{{\sf f}} ) \, {:}\, \text{J}\) ≈ \(\forall x \in X . x \mathop{{\sf f}} x = x\)
代数の最初の例にべき集合があります。証明においては = → =s が必要になります。
\(( \wp X , \cup ) \, {:}\, \underline{2} \text{C} \text{A} \text{J}\) \(\blacktriangleleft\)
\(( \wp X , \cap ) \, {:}\, \underline{2} \text{C} \text{A} \text{J}\) \(\blacktriangleleft\)
\(( \mathbb{M} , + ) \, {:}\, \underline{2} \text{C} \text{A}\) \(\blacktriangleleft\)
M* … \(( \mathbb{M} , \cdot ) \, {:}\, \underline{2} \text{C} \text{A}\)
\(( \wp ( X \times X ) , \circ ) \, {:}\, \underline{2} \text{A}\) \(\blacktriangleleft\)
2項関数の単位元
abbr … \(\text{unit} ( X , \mathop{{\sf f}} )\) ≈ \(\{ e \mid \forall x \in X . e \, \mathop{{\sf f}} \, x = x = x \mathop{{\sf f}} e \}\)\(\emptyset \in \text{unit} ( \wp X , \cup )\) \(\blacktriangleleft\)
\(X \in \text{unit} ( \wp X , \cap )\) \(\blacktriangleleft\)
e2
1以上の自然数
word(,s) … \(\mathbb{N}\)\N._ … \(\mathbb{N} = \mathbb{M} \mathop\setminus 1\)
\N.. … \(\mathbb{N} = \mathbb{M} \textit{+1}\) \(\blacktriangleleft\)
準備 M_n. … \(M_n = \{ n \in \mathbb{M} \mid n \neq 0 \Rightarrow \exists k \in \mathbb{M} . n = k \textit{+1} \}\)
この定理はいらない気が…
整数
word(s,s) … \(-\) \(-\)-_. … \(- \stackrel{\star}{=} \stackrel{\text{^}}{-}\)
suc- … \(n \in \mathbb{N} \Longrightarrow ( - n ) \textit{+1} = - ( \bigcup n )\)
word(,s) … \(\mathbb{Z}\)
整数は0以上のものと負のものに分けられるという定義を使うときは \Zm ≅ \Z を使用します。
\Zm. … \(\mathbb{Z} = \mathbb{M} \cup ( - \mathbb{N} )\)
整数の加法
+\Z … \(\begin{cases} m \in \mathbb{Z} \Longrightarrow m + 0 = m \\ m \in \mathbb{Z} , \; n \in \mathbb{M} \Longrightarrow m + ( n \textit{+1} ) = ( m + n ) \textit{+1} , m + ( - n ) = - ( - m + n ) \end{cases}\)\(+\M\)
\(m \in \mathbb{Z} \Longrightarrow m + 1 = m \textit{+1}\) \(\blacktriangleleft\)
\(n \in \mathbb{Z} \Longrightarrow 0 + n = n\) \(\blacktriangleleft\)
準備 M_-u. … \(M_{-u} = \{ n \in \mathbb{M} \mid 0 + ( - n ) = - n \}\)
\(0 \in \text{unit} ( \mathbb{Z} , + )\) \(\blacktriangleleft\)
+の性質をいろいろ？
m-nをabbrで導入すべし
整数の乗法
*\Z … \(\begin{cases} m \in \mathbb{Z} \Longrightarrow m \cdot 0 = 0 \\ m \in \mathbb{Z} , n \in \mathbb{M} \Longrightarrow m \cdot ( n \textit{+1} ) = ( m \cdot n ) + m , \; m \cdot ( - n ) = - m \cdot n \end{cases}\)*\M_unit … \(1 \in \text{unit} \mathbb{M} , \cdot\) \(\blacktriangleleft\)
*を+より優先。precedを変える