d1
基数とかめんどくさいので濃度の定義もされません。「２つの集合の濃度が等しいか？」という事は議論されます。
濃度
word(ss,p) … \(\stackrel{\#}=\) \(\stackrel{\#}\le\) \(\stackrel{\#}<\)=#._【\(X \stackrel{\#}= Y \Longleftrightarrow X \stackrel{\rm IS}\to Y \neq \emptyset\)】
le#._【\(X \stackrel{\#}\le Y \Longleftrightarrow X \stackrel{\rm I}\to Y \neq \emptyset\)】
<#.【\(X \stackrel{\#}< Y \Longleftrightarrow X \stackrel{\#}\le Y , X \cancel{\stackrel{\#}=} Y\)】
=#ITX【\(\stackrel{\#}= {:}\, \text{I} \text{T} \text{X}\)】\(\blacktriangleleft\)
le#IT【\(\stackrel{\#}\le {:}\, \text{I} \text{T}\)】\(\blacktriangleleft\)
【\(X \subset Y \Rightarrow X \stackrel{\#}\le Y\)】\(\blacktriangleleft\)
有限の濃度
=#0【\(X \stackrel{\#}= 0 \Longleftrightarrow X = \emptyset\)】\(\blacktriangleleft\)=#1【\(X \stackrel{\#}= 1 \Longleftrightarrow \exists x \, X = \{ x \}\)】\(\blacktriangleleft\)
=#\({\tt n}\)【\(X \stackrel{\#}= {\tt n} \Longleftrightarrow \exists^* x_{1} , \cdots , x_{\tt n} \, X = \{ x_{1} , \cdots , x_{\tt n} \}\)】\(\blacktriangleleft\)
未
`f in n ->S X => X =s {set f ap (0) ; f ap (1) ; … ; f ap (n-1)}` / ->S.. / ->.. // W. ＜ n.
Le / ->S.. / ->.. // W. ＜ n. ;; Le := `f in n ->S X => X =s {set f ap (0) ; f ap (1) ; … ; f ap (n-1)}`
neq2 が必要なハズ。<=ではaryも
有限の計算
鳩の巣原理（部屋割り論法）と呼ばれる補題から。【\( m , n \in \mathbb{M} , m \stackrel{\#}\le n \Longrightarrow m \subset n\)】\(\blacktriangleleft\)
準備 F_a.【\(F_a = \{ n \in \mathbb{M} \mid \forall m \in \mathbb{M} . ( m \stackrel{\#}\le n \Rightarrow m \subset n ) \}\)】
`F_a in_ Ind` / W. &l ＜ `0 in \M`
【\( m , n \in \mathbb{M} , m \subsetneq n \Longrightarrow \not\exists f f \in m \stackrel{\rm S}\to n\)】\(\blacktriangleleft\)
【\(n \in \mathbb{M} \Longrightarrow n \stackrel{\rm I}\to n = n \stackrel{\rm IS}\to n\)】\(\blacktriangleleft\)
【\(n \in \mathbb{M} \Longrightarrow n \stackrel{\rm S}\to n = n \stackrel{\rm IS}\to n\)】\(\blacktriangleleft\)
集合を有限と無限に分けます。
word(,c) … \(\mathbb{V}_{\not\infty}\) \(\mathbb{V}_\infty\)
cvt …【\(\mathbb{V}_{\not\infty}\)】≃【\(\{ X \mid \exists n \in \mathbb{M} . X \stackrel{\#}= n \}\)】
【\(\mathbb{V}_{\not\infty} = \{ X \mid X \stackrel{\#}\le \mathbb{M} \}\)】\(\blacktriangleleft\)
cvt …【\(\mathbb{V}_\infty\)】≃【\(\mathop\setminus \mathbb{V}_{\not\infty}\)】
有限の計算
直和の濃度【\( m , n \in \mathbb{M} \Longrightarrow ( 1 \times m ) \cup ( n \times 1 ) \stackrel{\#}= m + n\)】\(\blacktriangleleft\)
集合の直和作る？
\(m+n = \{0\}\times m \cup \{1\}\times n\)
d2
濃度の計算いろいろ
濃度の順序性
<#T【\(( X \stackrel{\#}< Y \stackrel{\#}\le Z ) \mathbin{\rm o\!r} ( X \stackrel{\#}\le Y \stackrel{\#}< Z ) \Longrightarrow X \stackrel{\#}< Z\)】d3
部分集合の全体はべき集合と呼ばれます。べき集合の基本的な性質を調べます。
べき集合
word(s,s) … \(\wp\)wp.【\(\wp X = \{ A \mid A \subset X \}\)】
【\(\wp \emptyset = \{ \emptyset \}\)】\(\blacktriangleleft\)
【\(\wp \{ x \} = \{ \emptyset , \{ x \} \}\)】\(\blacktriangleleft\)
べき集合の濃度
Cantorの定理<#wp【\(X \stackrel{\#}< \wp X\)】\(\blacktriangleleft\)
準備 lewp.【\(\text{lewp} ( X ) = \{ \langle x , \{ x \} \rangle \mid x \in X \}\)】
準備 newp.【\(\text{newp} ( X , f ) = \{ x \in X \mid x \notin f ( x ) \}\)】
`f in X -> (wp X) and x in X ==> newp (X , f) #/=s f ap (x)` / W. ＜ pr0 ,, mapon0 OK
`f in X -> (wp X) ==> not {exi x in X . newp (X , f) =s f ap (x)}` / W. ＜ pr0 ,, mapon0 なぜだめ?
=#wp【\(\wp X \stackrel{\#}= X \to 2\)】
準備 wp2.【\(\text{wp2} ( X ) = \{ \langle A , f \rangle \mid A \in \wp X , f = a \}\)】
有限部分集合の全体
word(s,s) … \(\wp_{\not\infty}\)wp_f.【\(\wp_{\not\infty} ( X ) = \wp ( X ) \cap \mathbb{V}_{\not\infty}\)】
【\(\wp_{\not\infty} ( \mathbb{M} ) \stackrel{\#}= \mathbb{M}\)】
互換
互換
word(ss,s) … \(\leftrightharpoons\)
exc.【\(x \leftrightharpoons y = \{ \langle x , y \rangle , \langle y , x \rangle \}\)】
exc0【\(x \leftrightharpoons y \in \{ x , y \} \{ x , y \}\)】\(\blacktriangleleft\)