1 主定理

群 \(G\)（演算 \(f\)、単位元 \(e\)）の部分群 \(H\) について、\(G\) が \(n\) 個・\(H\) が \(k\) 個の元をもつなら \(k\) は \(n\) を割る。
\(G\) の部分集合 \(S\) で右から \(H\) を掛けて閉じているものについて、\(S\) の個数についての強い帰納法で示します。\(S\) の元 \(a\) をとると、剰余類 \(aH\) は \(S\) に含まれ \(H\) と同じ個数で、\(S \setminus aH\) もまた閉じています。
\(\begin{cases} \forall x \in G . \forall y \in G . \mathbin{f} ( x , y ) \in G \\ \forall x \in G . \forall y \in G . \forall z \in G . \mathbin{f} ( \mathbin{f} ( x , y ) , z ) = \mathbin{f} ( x , \mathbin{f} ( y , z ) ) \\ e \in G , \forall x \in G . \mathbin{f} ( e , x ) = x , \mathbin{f} ( x , e ) = x \\ \forall x \in G . \exists y \in G . \mathbin{f} ( y , x ) = e , \mathbin{f} ( x , y ) = e \\ H \subset G , e \in H , \forall x \in H . \forall y \in H . \mathbin{f} ( x , y ) \in H \\ \forall x \in H . \exists y \in H . \mathbin{f} ( y , x ) = e , \mathbin{f} ( x , y ) = e \\ n , k \in \mathbb{M} , G \stackrel{\#}= n , H \stackrel{\#}= k \end{cases} \Longrightarrow \exists m \in \mathbb{M} . n = m \cdot k\) \(\blacktriangleleft\) \(\mathbb{W}.\) ，ax_s ，+𝕄 ，*𝕄