2 主定理

word(ss,s)F … \(\)
\(s(n)(m)\) を \(\sum_{k\lt m} \binom{n}{k} a^k b^{n-k}\) とします。自然数には引き算が無いので、\(k + j = n\) と書いて \(b^{n-k}\) を \(b^j\) で表し、\(s\) を \(s(n)(0) = 0\) と漸化式 \(s(k+j)(k+1) = s(k+j)(k) + \binom{k+j}{k} a^k b^j\) を満たす関数として仮定します（存在は示しません）。したがって主定理は「そのような \(s\) があれば」という条件付きの形です（\(s\) が無ければ何も言っていません）。
証明の要は \(s(n+1)(m+1) = b\,s(n)(m+1) + a\,s(n)(m)\)（\(m \le n\)・パスカルの漸化式から \(m\) についての帰納法）です。
\(\begin{cases} a , b \in \mathbb{M} \\ \forall n \in \mathbb{M} . s ( n ) ( 0 ) = 0 \\ \forall k \in \mathbb{M} . \forall j \in \mathbb{M} . s ( k + j ) ( k \textit{+1} ) = s ( k + j ) ( k ) + ( ( k + j ) \mathrm{C} k ) \cdot ( a ^ k \cdot b ^ j ) \end{cases} , n \in \mathbb{M} \Longrightarrow ( a + b ) ^ n = s ( n ) ( n \textit{+1} )\) \(\blacktriangleleft\) 𝕄0s ，IND𝕄 ，suc𝕄 ，+𝕄 ，*𝕄 ，↑𝕄 ，choose𝕄 ，1.