2 主定理

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各桁を \(d(0), d(1), \ldots\)（\(d(i)\) は \(10^i\) の位）とし、\(N(n) = \sum_{i\lt n} d(i) \cdot 10^i\)、\(S(n) = \sum_{i\lt n} d(i)\) とします。
ここでは \(N\)・\(S\) を漸化式を満たす関数として仮定します（存在は示しません）。各 \(d(i)\) は自然数であればよく、10 未満でなくても成り立ちます。したがって主定理は「そのような \(N\)・\(S\) があれば」という条件付きの形です。
証明：\(10^i = 3c + 1\) なので \(d \cdot 10^i = d + 3dc\)。足し合わせると \(N(n) = S(n) + 3t\) の形になり（帰納法）、3 の倍数を足しても 3 で割り切れるかは変わりません。
\(\begin{cases} \forall i \in \mathbb{M} . d ( i ) \in \mathbb{M} \\ N ( 0 ) = 0 \\ \forall i \in \mathbb{M} . N ( i \textit{+1} ) = N ( i ) + d ( i ) \cdot 10 ^ i \\ S ( 0 ) = 0 \\ \forall i \in \mathbb{M} . S ( i \textit{+1} ) = S ( i ) + d ( i ) \end{cases} , n \in \mathbb{M} \Longrightarrow ( 3 \mid N ( n ) \Longleftrightarrow 3 \mid S ( n ) )\) \(\blacktriangleleft\) \(\mathbb{W}.\) ，𝕄0s ，IND𝕄 ，suc𝕄 ，+𝕄 ，*𝕄 ，↑𝕄 ，1.